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Informatik für das Lehramt (B.Sc.)

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Logik (1. Semester)

Die Aussagenlogik ist eines der ersten behandelten Konzepte im Studienbereich "Mathematik für Informatik", denn sie ist absolute Voraussetzung für das Verständnis von Beweistechniken der Mathematik und Theoretischen Informatik, aber genauso für Rechnerlogik als Grundlage von Mikroprozessoren in der Technischen Informatik.

Aussagenlogik lässt sich auf breiter Ebene mit Problemstellungen der echten Welt verknüpfen. Daher beschäftigen sich die zwei folgenden Aufgaben mit der logischen Lösung von umgangssprachlich formulierten Problemen.

1. Logik der glücklichen Enten

Eine wichtige Fähigkeit aus dem Bereich der Aussagenlogik ist das Ableiten von Tatsachen aus gegebenen Fakten. Dazu werden diese Fakten, oder Aussagen, mittels sogenannter Logik-Operatoren miteinander verknüpft. Ein solcher Operator ist die Implikation, welche mit einem Pfeil ("⇒") dargestellt wird. Der Ausdruck "A ⇒ B" bedeutet, dass der Wahrheitsgehalt der Aussage B aus A folgt.

Das folgende Rätsel zeigt wie mit Hilfe von Implikationen Zusammenhänge erkennbar werden.

Gegeben sind folgende Aussagen:

1. Aussage: Jede Ente ist glücklich, wenn alle ihre Kinder schwimmen können.

2. Aussage: Alle gelben Enten können schwimmen.

3. Aussage: Eine Ente ist gelb, wenn sie Kind mindestens einer gelben Ente ist.

 

Welche der drei unten aufgeführten Aussagen folgt aus den zuvor gemachten Aussagen?

Alle gelben Enten, die Kinder haben, sind glücklich, denn alle ihre Kinder sind ebenfalls gelb, egal, ob der Partner auch eine gelbe Ente ist oder nicht. Wenn ihre Kinder ebenfalls gelb sind, können sie alle schwimmen, und daraus folgt, dass sie glücklich sind.

Klicken Sie auf Weiter, um zur nächsten Logik-Teilaufgabe zu gelangen.

2. Drei Studierende und das Hutproblem

Drei Studierende der Informatik bewerben sich zeitgleich auf einen Nebenjob. Da alle drei über dieselbe Qualifikation verfügen, wird von einer Hilfskraft der Personalabteilung ein Rätsel mit den Studierenden durchgeführt, um den Job zu vergeben: „Ich werde euch nun jeweils einen Hut aufsetzen. Sie sind entweder weiß oder blau. Ich habe drei blaue und zwei weiße Hüte.“

Den drei Studierenden werden drei Hüte aufgesetzt, ohne dass sie sehen können, welcher auf ihrem eigenem Kopf landet. Sie stellen sich in einer Reihe auf.

„Überlegt nun rasch, welche Farbe der Hut auf eurem Kopf hat. Wenn einer von euch die richtige Antwort hat, bekommt dieser den Job.“

Die drei Studierenden sehen jeweils nur die Hüte der vor ihnen stehenden Personen.

  1. Die hinterste Studierende wird gefragt: „Welche Farbe hat dein Hut?“ Sie schüttelt den Kopf. „Ich weiß es nicht.“

  2. Daraufhin wird der Zweite gefragt: „Und du, weißt du, welche Farbe dein Hut hat?“ Er sagt: „Leider weiß ich es auch nicht.“

  3. Enttäuscht wendet sich die Hilfskraft nun an die vorderste Studierende und fragt, ob sie die Farbe ihres Huts kennt. Die Studierende hat die Antworten der beiden anderen gehört und überlegt kurz. Dann sagt sie selbstbewusst: „Ja, das tue ich!“

 Welche Hutfarbe glaubt jede/-r Studierende selbst zu haben?

weiß

blau

unbekannt

Die Studierende, die ganz hinten steht

Die Studierende, die ganz hinten steht, sieht vor sich nicht zwei weiße Hüte, denn dann wüsste sie, dass sie einen blauen trägt, da die Hilfskraft insgesamt nur zwei weiße Hüte zur Verfügung hatte.
Falls die hinterste Studierende bei den anderen beiden Studierenden einen weißen und einen blauen Hut gesehen hat, dann hätte sie daraus nicht auf ihre eigene Hutfarbe schließen können, da die Hilfskraft insgesamt zwei weiße und drei blaue Hüte hat. Es sind also noch Hüte jeder Farbe übrig und somit kann ihr Hut sowohl blau als auch weiß sein.
Falls die hinterste Studierende bei den anderen beiden Studierenden zwei blaue Hüte gesehen hat, dann hätte sie daraus nicht auf ihre eigene Hutfarbe schließen können, da die Hilfskraft insgesamt drei blaue Hüte hat.
Sie sieht also entweder einen weißen und einen blauen Hut oder zwei blaue. Ihr eigener Hut kann also entweder weiß oder blau sein und ist damit unbekannt.

Der Studierende, der in der Mitte steht

Der Studierende, der in der Mitte steht, weiß nach der Antwort der hintersten Studierenden, dass er und die Studierende vor ihm nicht beide weiße Hüte tragen. Wenn die Studierende vor ihm also einen weißen Hut trägt, weiß er, dass er einen blauen tragen muss. Da er aber einer Antweort schuldig bleibt, welchen Hut er trägt, lässt sich aus der Unwissenheit schließen, dass die Studierende vor ihm einen blauen Hut trägt. Welchen Hut der mittlere Studierende aber trägt, lässt sich durch Logik nicht erschließen. Sein eigener Hut kann entweder weiß oder blau sein und ist damit unbekannt.

Die Studierende, die ganz vorne steht

Die Studierende, die ganz vorne steht, überlegt sich nun, welche Möglichkeiten in Frage kommen und weiß alleine dadurch, dass die beiden anderen Studierenden nicht wussten, was sie jeweils für einen Hut tragen, dass sie einen blauen Hut tragen muss. Würde sie einen weißen Hut tragen, hätte bereits der mittlere Studierende das Rätsel gelöst und falls dieser ebenfalls einen weißen Hut trägt bereits die hinterste Studierende.

Die beiden hinteren Studierenden wissen nicht, welchen Hut sie tragen und des Rätsels Löserin kann es auch nicht wissen. Nur, dass die vorderste Studierende einen blauen Hut tragen muss, lässt sich durch Logik erschließen.

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