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Aussagenlogik (Mathematik)
Die Aussagenlogik ist eines der ersten behandelten Konzepte im Studienbereich Mathematik, denn sie ist absolute Voraussetzung für das Verständnis von Beweistechniken der Mathematik und der Theoretischen Informatik. Aussagenlogik lässt sich auf breiter Ebene mit Problemstellungen der echten Welt verknüpfen. Daher beschäftigt sich die folgende Aufgabe mit der logischen Lösung eines umgangssprachlich formulierten Problems.
Aufgabe
Bei der Preisverleihung eines Mathematikwettbewerbs sitzen alle Teilnehmer im Publikum. Auch die drei nichtsahnenden Erstplatzierten sind dabei, wissen allerdings noch nichts von ihrem Glück, da die Jury die Bekanntgabe der SiegerInnen bis zuletzt spannend halten will. Aus diesem Grund wurde nur das Alter der Drei verraten: 17, 19 und 20 Jahre.
Der Jury ist außerdem aufgefallen, dass die SiegerInnen unterschiedliche Farben und Accessoires tragen und jeder genau ein Accessoire hat. Jedes der fünf Jurymitglieder macht nun eine wahre Aussage über das Aussehen der drei Erstplatzierten, mit deren Hilfe diese zweifelsfrei identifiziert werden können:
- Aussage 1: Der oder die Erstplatzierte trägt ein Halstuch.
- Aussage 2: Der 2. Platz geht an eine Person mit einem blauen Shirt.
- Aussage 3: Der oder die 19-Jährige trägt eine Krawatte.
- Aussage 4: Einer der Drei trägt einen Schal, aber es ist nicht die Person mit dem weißen Hemd.
- Aussage 5: Der oder die Drittplatzierte ist jünger als die Person in Grün.
Ordnen Sie den Platzierungen die Merkmale der jeweiligen SiegerInnen zu. Jedes Merkmal kommt dabei genau einmal vor.
1. Platz
2. Platz
3. Platz
17 Jahre
19 Jahre
20 Jahre
weißes Hemd
grüne Kleidung
blaues Shirt
Halstuch
Schal
Krawatte
In den fünf Aussagen der Jury sind alle Informationen enthalten, die man zur eindeutigen Lösung der Aufgabe benötigt. Durch logische Schlussfolgerungen lässt sich ermitteln, welcher Person welche Merkmale zuzuordnen sind:
Laut Aussage 5 trägt der oder die Drittplatzierte kein Grün und nach Aussage 2 kein Blau, weshalb nur das weiße Hemd übrig bleibt. Das wiederum bedeutet laut Aussage 4, dass er oder sie keinen Schal trägt. Da es sich um den 3. Platz handelt, kann die Person laut Aussage 1 auch kein Halstuch tragen und ist somit Krawattenträger. Dieser ist Aussage 3 zufolge 19 Jahre alt.
Die Person in Grün muss somit 20 Jahre alt sein, da sie laut Aussage 5 älter als der oder die Drittplatzierte ist. Sie hat den 1. Platz gewonnen, da der 3. Platz bereits belegt ist und der oder die Zweitplatzierte Blau und kein Grün trägt. Dies wiederum bedeutet laut Aussage 1, dass sie ein Halstuch hat.
Daraus lässt sich schließen, dass der oder die 17-jährige Zweitplatzierte ein blaues Shirt mit einem Schal kombiniert, was sich mit den Aussagen 2 und 4 deckt.